我们要求解的最优化问题的形式如下：
m i n f ( x ) s . t . g i ( x ) > 0 , i = 1 , . . . , m h j ( x ) = 0 , j = 1 , . . . , n \begin{aligned} min \ f(x) \\ s.t.\quad g_i(x)& \gt 0, i = 1,...,m\\ \quad h_j(x)& = 0, j = 1,...,n \end{aligned}
m
i
n
f
(
x
)
s
.
t
.
g
i
(
x
)
h
j
(
x
)
>
0
,
i
=
1
,
.
.
.
,
m
=
0
,
j
=
1
,
.
.
.
,
n
其中
x x
x
是一个向量，
g i ( x ) g_i(x)
g
i
(
x
)
是非等式约束，
h j ( x ) h_j(x)
h
j
(
x
)
是等式约束。
示例
在 x , y , z > 0 ， x y z = 1 x,y,z>0，xyz=1 x , y , z > 0 ， x y z = 1 的条件下，求解 ( x − 2 / 3 ) / ( x + y + z − 2 ) (x-2/3)/(x+y+z-2) ( x − 2 / 3 ) / ( x + y + z − 2 ) 的最小值。
from
scipy
.
optimize
import
minimize
import
numpy
as
np
e
=
1e
-
10
# 非常接近0的值
fun
=
lambda
x
:
(
x
[
0
]
-
0.667
)
/
(
x
[
0
]
+
x
[
1
]
+
x
[
2
]
-
2
)
# 约束函数
cons
=
(
{
'type'
:
'eq'
,
'fun'
:
lambda
x
:
x
[
0
]
*
x
[
1
]
*
x
[
2
]
-
1
}
,
# xyz=1
{
'type'
:
'ineq'
,
'fun'
:
lambda
x
:
x
[
0
]
-
e
}
,
# x>=e，即 x > 0
{
'type'
:
'ineq'
,
'fun'
:
lambda
x
:
x
[
1
]
-
e
}
,
{
'type'
:
'ineq'
,
'fun'
:
lambda
x
:
x
[
2
]
-
e
}
)
x0
=
np
.
array
(
(
1.0
,
1.0
,
1.0
)
)
# 设置初始值
res
=
minimize
(
fun
,
x0
,
method
=
'SLSQP'
,
constraints
=
cons
)
print
(
'最小值：'
,
res
.
fun
)
print
(
'最优解：'
,
res
.
x
)
print
(
'迭代终止是否成功：'
,
res
.
success
)
print
(
'迭代终止原因：'
,
res
.
message
)
输出：
最小值： -0.18814357989751096
最优解： [0.29250894 1.84897232 1.84897233]
迭代终止是否成功： True
迭代终止原因： Optimization terminated successfully.
备注：
- 若是求一个函数的最大值，则改为求其相反数的最小值。
-
因为
ineq的约束是表示非负，所以 x > 0 x>0 x > 0 的条件可以写为 x − e ≥ 0 x-e\ge0 x − e ≥ 0 ，其中 e e e 是一个尽可能小的值。 - 其实，在本题中，可以直接让 x > 0 x\gt0 x > 0 ，因为有约束 x y z = 1 xyz=1 x y z = 1 ，所以不必担心最后解为 x = 0 x=0 x = 0 。
函数介绍
scipy.optimize.minimize (fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)
求取一个函数的最小值。函数的参数可以是多个，但函数值只能是标量。
参数
-
fun
: callable
目标函数 -
x0
: ndarry
初始值 -
args
: tuple, optional
额外的参数，传给目标函数和它的导数。 -
method
: str or callable, optional
求解问题的算法名，下面选其一：
Nelder-Mead,Powell,CG,BFGS,Newton-CG,L-BFGS-B,TNC,COBYLA,SLSQP,dogleg,trust-ncg
默认是BFGS,L-BFGS-B,SLSQP之一，根据问题是否含有约束和界限自动选择。 -
jac
: bool or callable, optional
目标函数的梯度矩阵。只适用于CG,BFGS,Newton-CG,L-BFGS-B,TNC,SLSQP,dogleg,trust-ncg。如果jac是一个Boolean且为True，则fun被认为是梯度与目标函数一起返回。如果是False，则梯度会被自动地计算。jac也可以是一个函数，返回目标函数的梯度，且参数必须与fun相同。 -
hess
,
hessp
: callable, optional
目标函数的二阶导矩阵，或者二阶导矩阵乘以一个随机向量p。只适用于Newton-CG,dogleg,trust-ncg。hess和hessp只需要给出一个即可。如果提供了hess，则hessp会被忽略。如果两者都没有提供，则二阶导矩阵会被自动计算。 -
bounds
: sequence, optional
bounds是参数的界限，只适用于L-BFGS-B,TNC和SLSQP，每个参数对应一个(min, max)，表示参数的上下限。如果只有一边界限，则另一边置为None。当约束是针对 x x x 中的单个元素的上下限时，就可以用bounds参数来设置。 -
constraints
: dict or sequence of dict, optional
约束定义，只适用于COBYLA和SLSQP。每个约束定义为一个词典，键值对包括：- fun : callable。定义了约束函数。
-
type : str。约束类型：
eq’ 表示等式约束（fun等于0），ineq表示不等式约束（fun大于等于0）。COBYLA只支持不等式约束。 -
jac : callable, optional。
fun的梯度矩阵，只适用于SLSQP -
args : sequence, optional。传递给
fun和jac的额外参数。
-
tol
: float, optional
迭代终止的允许误差。 -
options
: dict, optional
求解器的选项字典。所有的算法都接受以下的通用选项：- maxiter : int。迭代的最大次数。
-
disp : bool。如果是
True则打印出收敛信息。
-
callback
: callable, optional
每次迭代之后调用的函数，参数为xk，表示当前的参数向量。
返回值
res：优化结果。
优化结果是
OptimizeResult
对象，重要属性如下：
-
fun是最优值。 -
x是最优解。 -
success表示求解器是否成功退出。 -
message描述了求解器退出的原因。
