用Python实现最速下降法求极值的方法

系统 412 0

对于一个多元函数 ,用最速下降法(又称梯度下降法)求其极小值的迭代格式为

其中 为负梯度方向,即最速下降方向,αkαk为搜索步长。

一般情况下,最优步长αkαk的确定要用到线性搜索技术,比如精确线性搜索,但是更常用的是不精确线性搜索,主要是Goldstein不精确线性搜索和Wolfe法线性搜索。

为了调用的方便,编写一个Python文件,里面存放线性搜索的子函数,命名为linesearch.py,这里先只编写了Goldstein线性搜索的函数,关于Goldstein原则,可以参看最优化课本。

线性搜索的代码如下(使用版本为Python3.3):

            
'''
线性搜索子函数
'''

import numpy as np
import random

def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):

  flag=0

  a=0
  b=alpham
  fk=f(x)
  gk=df(x)

  phi0=fk
  dphi0=np.dot(gk,d)

  alpha=b*random.uniform(0,1)

  while(flag==0):
    newfk=f(x+alpha*d)
    phi=newfk
    if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):
      if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):
        flag=1
      else:
        a=alpha
        b=b
        if(b
            
            
          

上述函数的输入参数主要包括一个多元函数f,其导数df,当前迭代点x和当前搜索方向d,返回值是根据Goldstein准则确定的搜索步长。

我们仍以Rosenbrock函数为例,即有

于是可得函数的梯度为

最速下降法的代码如下:

            
"""
最速下降法
Rosenbrock函数
函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import linesearch
from linesearch import goldsteinsearch

def rosenbrock(x):
  return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2

def jacobian(x):
  return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])


X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 给定的函数
plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线

def steepest(x0):

  print('初始点为:')
  print(x0,'\n')  
  imax = 20000
  W=np.zeros((2,imax))
  W[:,0] = x0
  i = 1   
  x = x0
  grad = jacobian(x)
  delta = sum(grad**2) # 初始误差


  while i
            
              10**(-5):
    p = -jacobian(x)
    x0=x
    alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)
    x = x + alpha*p
    W[:,i] = x
    grad = jacobian(x)
    delta = sum(grad**2)
    i=i+1

  print("迭代次数为:",i)
  print("近似最优解为:")
  print(x,'\n')  
  W=W[:,0:i] # 记录迭代点
  return W

x0 = np.array([-1.2,1])
W=steepest(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()
            
          

为了实现不同文件中函数的调用,我们先用import函数导入了线性搜索的子函数,也就是下面的2行代码

            
import linesearch
from linesearch import goldsteinsearch
          

当然,如果把定义goldsteinsearch函数的代码直接放到程序里面,就不需要这么麻烦了,但是那样的话,不仅会使程序显得很长,而且不便于goldsteinsearch函数的重用。

此外,Python对函数式编程也支持的很好,在定义goldsteinsearch函数时,可以允许抽象的函数f,df作为其输入参数,只要在调用时实例化就可以了。与Matlab不同的是,传递函数作为参数时,Python是不需要使用@将其变为函数句柄的。

运行结果为

            
初始点为:

[-1.2 1. ] 

迭代次数为: 1504

近似最优解为:

[ 1.00318532 1.00639618]

迭代点的轨迹为 

          

用Python实现最速下降法求极值的方法_第1张图片

由于在线性搜索子程序中使用了随机函数,初始搜索点是随机产生的,因此每次运行的结果不太相同,比如再运行一次程序,得到

            
初始点为:
[-1.2 1. ] 

迭代次数为: 1994

近似最优解为:
[ 0.99735222 0.99469882] 

          

所得图像为

用Python实现最速下降法求极值的方法_第2张图片

以上这篇用Python实现最速下降法求极值的方法就是小编分享给大家的全部内容了,希望能给大家一个参考,也希望大家多多支持脚本之家。


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